北京初二数学一对一辅导：全等三角形判定那些事儿

刚上初二的同学普遍反映几何变难了，尤其是全等三角形这一块。很多孩子小学时数学成绩还不错，结果一学到全等三角形就懵了。其实吧，这事儿真不怪孩子，全等三角形确实需要一定的空间想象能力和逻辑推理能力，不是靠死记硬背就能解决的。今天咱们就好好聊聊全等三角形判定这个话题，顺便说说怎么学好这块内容。

全等三角形到底是啥玩意儿？

在说判定方法之前，咱们得先搞明白啥叫全等三角形。说白了，两个三角形全等就是它们能完全重合，就像把一个三角形剪下来往另一个上面一放，分毫不差。那怎么判断两个三角形是不是全等呢？总不能真让孩子拿剪刀剪吧？数学家们早就帮我们想好了办法。

全等三角形有三条边和三个角，一共六个要素。只要其中几个要素对应相等，就能确定两个三角形全等。这就是判定方法的出发点——不需要看全部六个要素，挑几个关键的就能证明。

五种判定方法，一个一个说清楚

SSS判定法——三条边都对得上

SSS是最直观的一种方法。如果两个三角形的三条边分别相等，那这两个三角形肯定全等。你可以想象一下，有三根固定长度的木棍，把它们首尾相连拼成一个三角形，这个三角形是唯一的，对吧？不管你怎么拼，最后得到的三角形大小形状都一样。所以只要三条边对应相等，两个三角形就必然全等。

举个例子说明一下。假设三角形ABC的三边长是3cm、4cm、5cm，另一个三角形DEF的三边长也是3cm、4cm、5cm，那这两个三角形就全等。在证明题里，只要写上"AB=DE，BC=EF，CA=FD"（对应的边），再写上"SSS"，结论就出来了。

SAS判定法——两条边加夹角

SAS的意思是两条边及其夹角对应相等。这里特别注意是"夹角"，不是任意一个角。两边夹一角的意思是，这两个边中间的那个角必须相等。

举个例子帮助理解。假设你有一个三角形，两条边分别是5厘米和7厘米，它们之间的夹角是60度。那这个三角形就被确定了。为啥呢？你可以画一条5厘米的线段作为底边，然后用量角器画出60度的角，从这个角的顶点出发画一条7厘米的线段，最后把两条线的端点连起来——这个三角形只有一种画法。所以只要满足SAS，两个三角形就全等。

很多同学在这里容易犯一个错误，就是把两条边和它们中间的角搞错位置。比如题目说边AB=边DE，边BC=边DF，角B等于角D，这时候才能用SAS。如果角B不是边AB和BC的夹角，那这个条件就不能用SAS判定。

ASA判定法——两角夹一边

ASA是说两个角和它们之间的那条边对应相等。这里又要注意了，是两角"夹"一边，就是这两个角中间的那条边。

这种判定方法也很好理解。两个角确定之后，第三个角也就确定了（三角形内角和180度），而边的长度可以通过正弦定理算出来。所以整个三角形就被锁定了。在实际证明中，通常是用两个角加它们中间的边来证全等。

还有一个要注意的地方：ASA有时候可以转化成AAS来用。啥意思呢？如果你知道两个角相等，再加上任意一条边对应相等，也能证明全等。因为第三个角可以用内角和算出来，相当于还是两个角夹一条边。

AAS判定法——两角加任意一边

AAS就是两个角和其中任意一条边对应相等。为啥两个角加任意一条边就能证明全等呢？刚才其实已经说过了，两个角确定后，第三个角也确定了。这时候有一条边，不管这条边在哪个位置，三角形就被确定了。

不过在使用的时候要注意对应关系。角要对应角，边要对应边，不能搞混了。比如三角形ABC的角A等于角D，角B等于角E，边AB等于边DE，这就能用AAS。有些同学容易把对应的边找错，比如用角A和角B对应的边应该是AB，结果写成AC，这就不对了。

HL判定法——直角三角形的专属

HL这个判定方法比较特殊，它只适用于直角三角形。HL的意思是斜边和一条直角边对应相等。

为什么直角三角形这么特殊呢？因为直角三角形有一个90度的角，已经确定了一个角的条件。所以只需要斜边和一条直角边对应相等，就能确定整个三角形。这个方法在实际应用中很方便，尤其是遇到直角三角形的时候。

使用HL的时候一定要先证明两个三角形都是直角三角形。有时候题目里没有直接给出直角，需要通过垂直关系来证明。比如题目说AD垂直BC，那角ADC和角ADB都是直角，三角形ADC和ADB都是直角三角形，才能用HL判定。

判定方法对比，用表格看得更清楚

判定方法	英文缩写	条件要求	适用范围
边边边	SSS	三条对应边相等	所有三角形
边角边	SAS	两条对应边及其夹角相等	所有三角形
角边角	ASA	两个对应角及其夹边相等	所有三角形
角角边	AAS	两个对应角及任意一边相等	所有三角形
斜边直角边	HL	斜边和一条直角边对应相等	仅直角三角形

这个表格挺实用的，建议孩子做题的时候遇到不确定的情况就对照看看。关键是看题目给了哪些条件，然后对应选择合适的判定方法。

孩子们最容易犯的错误，看看你家孩子有没有

教学这么多年，我见过太多学生在全等三角形这里栽跟头了。把常见的错误总结一下，家长可以对照看看自己的孩子有没有这些问题。

• 搞混"对应"关系。证明全等的时候，对应关系特别重要。边要对应边，角要对应角。有同学写着写着就把三角形ABC的边AB等于三角形DEF的边EF了，这明显是对应错了。所以写的时候一定要看清题目里的对应关系，不能自己瞎编。
• SSA不能随便用。很多同学学完SAS之后就想当然，觉得两条边和一个角就行，不管这个角在哪儿。这里郑重提醒：SSA（即两条边及其非夹角相等）不能作为判定方法！只有在直角三角形的情况下HL才管用，普通的SSA是不能判定全等的。这一点考试经常考，很多孩子在这里失分。
• HL用错了地方。HL只能用于直角三角形，有同学一看到斜边和直角边就想用HL，结果两个三角形根本不是直角三角形，这种情况肯定不行。用HL之前记得先确认直角。
• 步骤写不完整。证明题需要规范的步骤，有同学只写"SSS"就完了，前面的对应相等关系没写清楚。这样就是步骤不完整，会被扣分的。规范的写法应该是：先写清楚对应的边或角相等，然后写判定方法，最后得出全等的结论。

怎么学才能真正掌握？

说了这么多判定方法，接下来聊聊怎么学才能真正弄懂这部分内容。光看不练肯定不行，但瞎练也不行，得讲究方法。

先理解，再记忆

很多孩子一上来就背判定方法的名字和条件，这样学肯定学不活。正确的做法是先理解为什么这些条件能确定三角形。比如SSS，为啥三边确定三角形就唯一？你拿三根小木棍拼一拼试试，看看能拼出几种不同的三角形。这样动手试一试，比背十遍都有用。

理解之后再记忆就容易多了。而且理解了原理，就算考试时忘了具体是哪个字母，也能自己推出来。

多画图，培养空间感

几何几何，离不开图。学全等三角形一定要多画图。画图的过程其实就是加深理解的过程。你把两个三角形画出来，标上对应的边和角，一眼就能看出来哪些条件满足了，哪些还没给。

有些同学空间想象力不太好，这很正常，不是笨。多练就行了。可以先从简单的图形开始画，慢慢增加难度，画着画着就有感觉了。

典型例题要做透

不是做题越多越好，而是要做透。找几道经典的证明题，每道题反复做几遍，直到能独立、规范地写完整过程才算过。做完一道题想一想，这道题用了什么判定方法？为什么要用这个方法？能不能用其他方法？这样一道题顶十道题。

错题本不能少

每次作业和考试中的错题一定要整理到错题本上。错题本不是把题目和答案抄上去就完事了，要分析自己到底错在哪里。是条件看错了？是对应关系搞混了？还是判定方法用错了？把错误原因写清楚，下次再遇到类似的题就不会再犯了。

一对一辅导到底有没有必要？

这个问题很多家长都在问。我的看法是，要看孩子的具体情况。如果孩子在学校能跟上老师的节奏，自己也能搞懂，那大班课就够了。但如果孩子出现以下情况，一对一辅导可能效果更好：

• 学校讲的内容听不太懂，问题堆积越来越多
• 明明听懂了，自己做题就不会
• 某个特定知识点反复出错，怎么讲都转不过弯
• 孩子内向，不好意思在课堂上提问
• 基础比较弱，需要特别关注

一对一辅导的优势在于，老师能根据孩子的实际情况来调整教学节奏和内容。哪里不会讲哪里，会的东西不用浪费时间再听。而且一对一的氛围比较轻松，孩子更容易开口问问题，把不懂的地方弄明白。

就拿全等三角形来说吧，每个孩子的难点可能都不一样。有的孩子是SSS和SAS分不清，有的孩子是找不对对应关系，还有的孩子是几何语言写不规范。一对一的话，老师很快就能发现孩子的问题所在，针对性地训练，比上大班课效率高很多。

写在最后

全等三角形是初二几何的重点内容，也是后续学习的基础。这块内容学好了，后面的相似三角形、平行四边形都会轻松很多。所以如果孩子在这部分有困难，家长还是要重视起来。

学数学这件事，急不得，得慢慢来。今天没弄懂的东西，明天再看看，可能就开窍了。关键是不能逃避问题，堆积问题。遇到不会的，及时问老师、问同学、问家长都行，把问题解决掉才是正理。

金博教育在辅导初二数学这块确实挺有经验的，老师们会根据每个孩子的特点制定学习计划，帮助孩子把基础打牢。如果您的孩子正在为全等三角形发愁，不妨带孩子来试听感受一下，看看适不适合自家的孩子。毕竟教育这事，适合的才是最好的。

祝孩子的数学学习顺利，早日攻克全等三角形这个难关！