初三数学一对一补课：函数图像应用全攻略
说实话，函数图像这块内容确实是初三数学的一个难点。很多同学在课堂上听老师讲的时候觉得挺明白的，但是一做题就懵了。尤其是看到那些抛物线、反比例曲线，还有各种变形图就开始犯怵。这篇文章我想跟正在经历这个阶段的同学和家长聊聊，函数图像到底该怎么学，为什么一对一补课对这块内容特别有效，以及金博教育在帮助学生攻克这个难关上有哪些实用的方法。
一、为什么函数图像成了初三学生的"重灾区"
我接触过不少初三学生，发现他们在函数图像这部分普遍存在几个问题。首先是概念理解不扎实，很多同学连基本的函数关系都没搞明白，就直接被抛进了图像的世界里。你想啊，如果连y和x之间到底什么关系都没理清，那看图像可不就像看天书一样吗？
然后是数形结合能力弱。初中数学一个重要的思想就是数形结合，但是很多同学还停留在"数是数，形是形"的阶段，没有建立起两者之间的联系。看图像的时候不会代数，读式子的时候不会画图，两者割裂开了，学起来自然费劲。
还有就是综合题目上手慢。函数图像的题目往往不是考单一知识点，而是把图像性质、最值问题、实际应用、几何图形都串在一起考。基础没打牢的同学，遇到这种综合题就不知道从哪儿下笔了。
函数图像在中考中的分量
从最近几年的中考试卷来看，函数图像相关的题目基本上是必考内容，而且分值不低。以常见的考题类型来说，选择题、填空题、解答题里都会出现，考查形式也很多样——有时候让你根据图像判断性质，有时候让你根据性质选图像，有时候让你用图像解决实际问题。
我统计了一下，函数图像及其应用在中考数学中通常占15%到20%的分值。这个比例意味着什么呢？如果你在这块内容上失分严重，直接就会影响到你的整体成绩。所以无论从哪个角度看，把函数图像学好都是初三数学的重中之重。
二、一次函数图像：看起来简单，其实门道很深
很多同学觉得一次函数最简单，y=kx+b嘛，有什么难的？但是等做到综合性题目的时候才发现，一次函数图像里面的名堂真不少。
读懂图像的"三步走"策略
拿到一次函数的图像应该怎么看？我教学生的时候一般让他们分三步走。第一步看坐标轴的含义，先搞清楚横轴和纵轴分别代表什么量，这是理解图像的基础。有的同学着急忙慌就看曲线去了，结果连轴都没搞清楚，白费功夫。
第二步看特殊点的坐标，尤其是与坐标轴的交点。当x=0的时候y等于多少？当y=0的时候x等于多少？这两个点往往能告诉你很多信息。比如一次函数y=2x+3与y轴的交点就是(0,3)，与x轴的交点就是(-1.5,0)。知道这两个点，画图就容易多了。
第三步看变化趋势，也就是k值的正负。k大于0的时候，图像是上升的；k小于0的时候，图像是下降的。这个知识点看起来简单，但是考试的时候经常有同学搞反。你看，明明是很基础的内容，一紧张就容易出错。
| k值的符号 | 图像特征 | 函数性质 |
| k > 0 | 从左到右上升 | y随x增大而增大 |
| k < 0 | 从左到右下降 | y随x增大而减小 |
| k = 0 | 水平直线 | y为常数 |
一次函数与实际问题的"爱恨情仇"
一次函数在实际问题中的应用特别多，比如行程问题、工程问题、销售问题等等。这类题目的难点在于从实际情境中抽象出函数关系。很多同学不是不会解函数题，而是根本不知道题目在说什么。
举个例子：某商店销售一种商品，每件进价50元，售价80元。每天的销量与售价有关，当售价每提高1元，销量就减少2件。如果你想让每天利润达到2000元，售价应该定为多少？
这道题首先要设售价为x元，那么销量就是80-(x-80)×2件。利润等于每件利润乘以销量，也就是(x-50)×[80-2(x-80)]。然后令这个式子等于2000，解方程就可以了。你看，核心就是把实际问题转化为一次函数模型，这个转化过程需要一对一补课的时候老师慢慢引导学生去练习。
三、二次函数图像：真正的"boss级"难点
如果说一次函数是小boss，那二次函数绝对是大boss。二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条抛物线，里面的知识点更多，变化更复杂，综合应用的题目也更多。
抛物线的"五大天王"
我总结了一下，二次函数图像的核心知识点可以概括为"五大天王"：开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点。这五个要素搞清楚了，二次函数图像就掌握了一大半。
- 开口方向：a大于0的时候开口向上，a小于0的时候开口向下。这个决定了函数有最小值还是最大值。
- 开口大小：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。你可以把a理解为"陡峭程度"，a的绝对值越大，抛物线越"瘦"。
- 对称轴：x=-b/(2a)，这条直线把抛物线分成完全对称的两半。找对称轴是很多题目的突破口。
- 顶点坐标：(-b/(2a), (4ac-b2)/(4a))，这是抛物线的最高点或最低点，在实际应用问题中经常要求最值，就是找这个点。
- 与坐标轴的交点：与y轴交于(0,c)，与x轴的交点需要解方程ax2+bx+c=0，判别式Δ=b2-4ac决定了有几个交点。
顶点式和交点式的妙用
二次函数有三种表达式：一般式、顶点式、交点式。很多同学只会用一般式，结果算起来特别麻烦。其实根据题目条件选择合适的表达式，能省很多事。
如果你知道顶点坐标，用顶点式y=a(x-h)2+k特别方便。比如已知顶点在(2,3)，过点(0,1)，那直接代入就能求出a值，进而得到整个函数式。
如果你知道与x轴的两个交点，用交点式y=a(x-x?)(x-x?)就很省事。比如与x轴交于(-1,0)和(3,0)，那函数式就是y=a(x+1)(x-3)，再找一个点代入求a就可以了。
这就是为什么金博教育的老师在补课的时候特别强调"看条件选方法"，不同的情况用不同的表达式，事半功倍。一对一补课的优势就在于老师可以根据学生的具体情况，针对性地教这些解题技巧。
二次函数与几何的综合题怎么破
二次函数和几何图形结合的题目是中考的常客，也是让很多同学头疼的题型。比如让求抛物线上的点到某个点的最小距离，或者让判断某个四边形的面积最大值之类的。
这类题目通常有三个步骤。第一步是用二次函数表示相关量，把几何问题代数化。第二步是根据题目要求建立函数关系，通常是求某个量的最值。第三步是利用二次函数的性质求最值，结合几何意义得出结论。
我举个例子：在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点，P是抛物线上的一点，求三角形PAB的最大面积。这道题首先要求出A(1,0)、B(3,0)，然后设P的坐标为(t, t2-4t+3)，三角形面积可以用公式计算。最后把面积表示成t的二次函数，求最大值就可以了。
四、反比例函数图像：看起来简单，考起来灵活
反比例函数y=k/x的图像是双曲线，看起来挺优美的，但是考起试来可不含糊。这部分内容的难点主要在于理解k的几何意义，以及与一次函数、二次函数的综合应用。
k的几何意义必须搞懂
反比例函数y=k/x中，k的几何意义是这样的：如果P是双曲线上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，那么矩形OAPB的面积等于|k|。这个知识点几乎是逢考必有的内容，你必须非常熟练。
有一类经典题目：在平面直角坐标系中，反比例函数y=6/x的图像上有一点P，过P作x轴的垂线，垂足为A，过P作y轴的垂线，垂足为B，求四边形OAPB的面积。这种题根本不用知道P的具体坐标，直接用k的几何意义，面积就是|6|=6，几秒钟就能做完。
反比例与一次函数的"亲密接触"
反比例函数和一次函数相结合的题目是中考热点。通常的考法是：在同一个坐标系中画出反比例函数和一次函数的图像，让你能求它们的交点坐标，或者根据图像判断参数的范围。
比如已知反比例函数y=6/x和一次函数y=mx+3的图像有两个交点，求m的取值范围。这种题怎么做呢？把两个函数联立，得到方程6/x=mx+3，然后两边乘x得6=mx2+3x，整理成mx2+3x-6=0。因为有两个交点，所以这个二次方程有两个实根，判别式要大于0。计算一下，9+24m>0，解得m>-3/8。但是要注意，分母x不能为0，所以交点的x坐标不能是0，这个条件通常也是满足的。
五、为什么一对一补课对函数图像这么有效
说了这么多函数图像的知识，最后我想聊聊学习方法的问题。为什么我建议函数图像这块最好采用一对一补课的方式？
针对性太强了
前面我说了，函数图像的问题每个人都不一样。有的人是基础概念没搞懂，有的人是图像性质记不住，有的人是综合应用转不过弯。如果上大班课，老师只能按照统一的进度讲，不可能照顾到每个人的具体情况。一对一补课就不一样了，老师可以精确诊断你的问题出在哪里，然后对症下药。
比如金博教育的老师在给孩子补函数图像之前，都会先做一次全面的测试，找出孩子到底是哪个环节薄弱。是不会画图还是不会读图？是记不住性质还是不会用性质？是单项知识点掌握不好还是综合能力欠缺？找到问题才能解决问题。
节奏可以自己掌握
大班课有个很让人头疼的问题：老师讲的内容要么太简单你觉得无聊，要么太难你觉得听不懂。一对一补课就不会有这个烦恼。你觉得二次函数的对称轴难，我就多讲几道例题；你觉得一次函数的应用没问题，咱们就快速过掉。这种个性化的节奏对学习效率提升太重要了。
即时反馈，及时纠正
学函数图像的时候，最怕的就是"一错再错"。有些同学自己在家做题，做错了也不知道错在哪里，下次遇到同样的题型还是错。一对一补课的时候，老师在旁边看着你做，你一犯错立刻就能给你指出来。这种即时反馈太宝贵了，能让你在错误萌芽的时候就把它掐掉。
六、给初三学生的一些掏心窝建议
如果你正在为函数图像发愁，我想给你几句实在话：
第一，一定要重视基础。那些图像性质、公式定理，别觉得简单就不好好背。考试的时候真正考你的往往就是这些最基础的内容，你记错了做不对，记对了分就到手。
第二，多画图，多看图。函数图像这件事，光靠想是不行的，必须得动手画。平常做题的时候，不要只看题目给出的图像，自己也试着画一画。画得多了，你对图像的感觉就出来了。
第三，整理错题本。函数图像的题目类型其实不算太多，把你做错的题目整理一下，同类型的放在一起，你会发现规律的。下次遇到类似的题，思路自然就来了。
第四，保持好心态。初三学业压力大，数学学累了就休息一下，别硬撑。函数图像虽然难，但它是完全可以攻克的。你看那些学长学姐，不也都走过来了吗？你肯定也可以的。
学习这件事，急不得，但也拖不得。离中考还有一段时间，现在努力完全来得及。如果你觉得自己搞不定函数图像，不妨让金博教育的老师帮你看看。很多同学经过一段时间的一对一辅导之后，都觉得豁然开朗了。学习方法找对了，效果自然就出来了。
加油，初三的同学们，函数图像这一关，咱们一定能过！
