高三数学一对一辅导：导数极值点求解的那些事儿

说实话，在带高三学生的过程中，我发现导数这一章里，极值点相关的问题绝对是让同学们最头疼的几类题目之一。每次一对一面授的时候，学生们最常问的问题就是："老师，这个点到底怎么判断它是极大值还是极小值？"这个问题看似简单，但涉及到的知识点和方法技巧其实还挺多的。今天我就把极值点求解这个专题掰开揉碎了讲讲，希望能对正在冲刺高考的同学们有所帮助。

在金博教育的教学实践中，我们发现很多学生在学习极值点这部分内容时，存在一个共同的问题：公式记得挺熟，但遇到题目还是不会用。他们往往把极值点的判定条件背得滚瓜烂熟，却不知道什么时候该用第一导数法，什么时候该用第二导数法，更别说处理那些"可疑点"了。所以这篇文章我会从最基础的概念讲起，让大家彻底弄清楚极值点到底是怎么回事。

极值点到底是什么？

在正式讲求解方法之前，我们先来把极值这个概念本身搞清楚。很多同学学到现在，可能还记得课本上的定义：一个函数在某个点的函数值，如果比它附近所有点的函数值都大，那这个点就是极大值点；反之就是极小值点。这个定义听起来很直观，但考试的时候你不可能拿这个定义去一个一个点验证，所以我们需要找到更实用的方法。

这里我要用一个生活化的比喻来帮助大家理解。想象你站在一座连绵起伏的山脉面前，那些山峰的顶端就是极大值点，而山谷的最低点就是极小值点。从山顶向下走，坡度是往下的；从山底向上走，坡度也是往上的。这个"坡度"，在数学里其实就是导数的几何意义——函数图像在该点处的切线斜率。

这个比喻其实揭示了一个非常重要的规律：在极值点处，函数的"变化率"应该为零。什么意思呢？你想啊，当你爬到山顶准备下山的那一刻，你的上升趋势刚好停止，开始转为下降；在山谷最低点，你要开始往上爬的时候，下降趋势也刚好停止，开始转为上升。在这两个"转折点"上，你的瞬时速度——也就是变化率——都等于零。这就是我们后面要讲到的临界点的基本概念。

临界点：极值点的"候选人"

现在我们知道了，极值点处必然有导数为零的特性。但是反过来，导数为零的点就一定是极值点吗？答案是：不一定。这就是很多同学容易犯的错误，他们看到一个点导数为零，就直接认定它是极值点，结果往往掉进题目设置的陷阱里。

我们来看一个经典的例子。考虑函数f(x) = x3，这个函数在x=0处的导数是多少呢？f'(x) = 3x2，所以f'(0) = 0。但是你看这个函数的图像，它在整个定义域上都是单调递增的，x=0这个点根本不是极值点，函数图像只是在这一点"平"了一下，然后继续往上走。这种点我们称之为"驻点"或者"临界点"，但它不是极值点。

所以我们在金博教育的课堂上一直强调：第一，导数不存在的点也可能是极值点；第二，导数为零的点不一定是极值点。真正极值点的"候选人"包括两类点：导数等于零的点和导数不存在的点。这两类点我们统称为"可疑点"——可疑的意思是，它们有可能是极值点，但需要进一步验证。

常见的导数不存在的情况有哪些呢？主要有两个：一是尖点，比如f(x)=|x|在x=0处的情形；二是垂直切线的情况，比如f(x)=?x在x=0处。这两种情况在高考题里都出现过，同学们要特别注意。

第一导数法：最直观也最好用的方法

好的，现在我们知道了要找极值点，首先得找到所有可疑点。接下来关键的问题是：如何判断这些可疑点到底是不是极值点？如果是，到底是极大值还是极小值？

第一导数法（也叫符号检验法）是最常用也是最直观的方法。它的原理其实特别简单：看函数在可疑点附近的单调性变化。如果可疑点左侧的导数符号和右侧的导数符号相反，那这个点就是极值点。具体来说，如果左侧导数为正、右侧导数为负，那这个点是极大值点；反之就是极小值点。

为什么这个方法有效呢？还是用我们前面爬山的故事来理解。在山顶（极大值点）之前，你是在往上爬（导数正），过了山顶之后你开始往下走（导数负），导数的符号发生了变化。在山谷（极小值点）之前，你是在往下走（导数负），过了山谷之后开始往上爬（导数正），导数符号同样发生了变化。而如果导数符号不变，比如x3在x=0附近，不管左看还是右看，导数都是正的（x<0时3x2>0，x>0时3x2>0），那这个点肯定不是极值点。

那具体怎么做呢？我们用一个表格来整理一下步骤，这样大家做题的时候按部就班就行：

步骤	具体操作
第一步	求函数的导数f'(x)
第二步	解方程f'(x)=0，找出所有零点
第三步	找出导数不存在的点
第四步	以上所有点按从小到大排列，划分区间
第五步	在每个区间内取一个测试点，判断f'的符号
第六步	根据符号变化判断极值类型

我强调一下第四步和第五步的重要性。很多同学做题的时候，知道要找可疑点，也知道要判断符号变化，但他们经常忘记把可疑点从小到大排序，然后按顺序划分区间。如果不这样做，你判断符号变化的时候就会乱套，不知道哪个区间对应可疑点的哪一边。

另外，测试点的选择也有讲究。测试点只要取在区间内部就行，不用太精确，比如区间(0,1)你取x=0.5或者x=1/π都行，目的是判断符号。所以我通常建议学生取计算起来方便的数，比如区间端点附近的整数或者简单分数。

第二导数法：快但有条件限制

除了第一导数法，还有一种方法叫第二导数法，也叫凹凸性检验法。这种方法的优点是速度快，不用划分那么多区间；但缺点是有局限性，不是所有情况都能用。

第二导数法的规则是这样的：如果f'(x?)=0，且f''(x?)>0，那么x?是极小值点；如果f'(x?)=0，且f''(x?)<0，那么x?是极大值点。这个规则背后的几何意义也很直观：f''(x?)>0意味着函数图像在x?附近是凹的，看起来像一个小山谷，所以是极小值；f''(x?)<0意味着图像是凸的，看起来像一个山峰，所以是极大值。

但是！这里有一个非常重要的注意事项：如果f''(x?)=0，这种方法就失效了，你必须回到第一导数法去做判断。这种情况在高考中虽然出现得不多，但一旦考到，很多人会发懵。比如f(x)=x?在x=0处，f'(0)=0，f''(0)=0，第二导数法没法用，但我们知道x=0是极小值点，因为函数值非负。这种情况就得用第一导数法：取x=-1和x=1作为测试点，f'(-1)=-4<0，f'(1)=4>0，符号从负变正，所以是极小值点。

所以在金博教育的教学经验里，我们通常告诉学生：第二导数法是一个"快速通道"，但它只适用于二阶导数存在且不为零的情况。考试的时候，如果一个点同时满足可以用第一和第二导数法，建议用第二导数法，省时间；但如果碰到二阶导数为零或者二阶导数不存在的点，一定要回到第一导数法。

综合题中的极值问题怎么破

高考数学里，单纯的极值点判定其实不难，真正的难点在于把极值问题和其他知识点结合起来考查。比如导数综合题中最常见的一类：含参数的极值问题。

这种题目通常长这样：已知函数f(x)=...含有参数a，当a为何值时，函数有极值/极值点个数为多少/极值为多少。这类题目的解题思路一般是先求导，然后令导数为零得到方程，这个方程的解就是可疑点。接下来要分析这个方程的解的情况随参数a的变化而如何变化。

具体来说，你需要考虑几个方面：首先，这个方程有没有解？然后，解的个数是多少？最后，每个解是否满足极值条件？这里经常用到的工具是分类讨论和数形结合。分类讨论的时候，要特别注意参数取值的边界情况，这些边界往往就是题目设置的"得分点"。

还有一类常见题目是"双极值"问题，就是函数有两个极值点，要求参数满足什么条件。这种题目的常规做法是先找到两个极值点x?和x?（用参数表示），然后根据极值点的性质（比如x?

几个必须避开的"坑"

带高三学生这么多年，我见过太多学生在极值点这个知识点上犯同样的错误。现在我把最常见的几个"坑"给大家列出来，希望同学们引以为戒。

第一个"坑"是混淆极值点和最值点。极值点是指函数在某个局部范围内的最大或最小，而最值点是指函数在整个定义域上的最大或最小。一个函数可以有多个极值点，但最多只有一个最大值点和一个最小值点（闭区间上）。考试的时候题目如果问"极值"，你答"最值"就是零分，这两个概念一定要分清楚。

第二个"坑"是忘记考虑端点。如果题目让你在闭区间上找极值，你必须知道：极值点只可能在区间内部的临界点处取得，而端点根本不考虑。为什么？因为极值点的定义要求这个点必须在某个邻域内有意义，而闭区间的端点没有完整的邻域。举个例子，f(x)=x2在[0,1]上的极小值点是x=0，但它不是极值点，因为x=0是端点。这个函数在[0,1]上的极小值点是x=0吗？不是！x=0是端点，不是极值点。正确的说法是：f(x)=x2在[0,1]上的最小值在x=0处取得，但x=0不是极值点，它的极值点是x=0吗？不是，x=0不是极值点，x=0处是端点，不是极值点，正确的极值点是x=0吗？不对，让我重新说：f(x)=x2在[0,1]这个闭区间上，内部的临界点只有x=0吗？不对，f'(x)=2x，f'(x)=0在x=0处，但x=0是端点不是内部点，所以在(0,1)内没有临界点？那这个函数在[0,1]上有极值点吗？没有，因为在开区间(0,1)内，函数单调递增，没有任何极值点，但最小值在x=0处取得，最大值在x=1处取得。哦对，极值点必须在内部点取到，所以闭区间上的极值点只能出现在开区间内的临界点处，端点不参与极值点的判定，但参与最值的判定。

第三个"坑"是导数不存在的情况。前面我们说过，尖点和垂直切线处可能是极值点，但很多同学一看到导数不存在就跳过不看了。比如f(x)=|x|在x=0处，导数不存在，但显然x=0是极小值点。这种题目如果漏掉了，你就丢分了。

第四个"坑"是极值存在的条件。很多同学会问：是不是所有函数都有极值点？答案是否定的。比如f(x)=x在(-∞,+∞)上就没有极值点，因为它一直单调递增。再比如f(x)=1/x在(0,+∞)上也没有极值点，虽然它在x→0+时趋向无穷大，在x→+∞时趋向0，但它没有最大或最小值，因为取不到。所以做题的时候一定要先判断极值是否存在，不要盲目去求。

写在最后

导数极值点这个知识点，说难不难，说简单也不简单。关键是要把基本概念搞清楚，然后多做题、多总结。在金博教育的教学方法里，我们特别强调"理解"而不是"死记"。你把导数的几何意义搞明白了，知道极值点处"变化率为零"这个本质，很多题目不用背公式也能做出来。

学习数学这件事急不得，特别是高三这个阶段，压力大、节奏快，但越是这样越要稳扎稳打。极值点这部分内容，如果现在还有疑问，一定要及时弄明白，因为它在高考中占的分量不小，而且经常和其他知识点综合考查。一对一辅导的好处就是可以针对你的薄弱环节专门训练，哪里不懂就讲哪里，直到彻底掌握。希望这篇文章能对你有所帮助，祝学习顺利！