高考数学冲刺：导数极值点判断的那些事儿

说起导数这块内容，很多同学在高考复习时都会犯怵。特别是极值点判断这个题型，感觉公式多、步骤杂，一到考试就脑子发蒙。我当年自己备考的时候也是这样，公式背得挺熟，一做题就懵圈。后来在金博教育跟着老师系统梳理了一遍，才发现这部分其实是有套路的。今天我就把导数极值点判断的方法掰开揉碎了讲讲，希望能帮正在冲刺的同学们理清思路。

极值点为什么这么重要？因为它是高考数学导数板块的核心考点之一。纵观近几年的高考真题，无论是全国卷还是各省自主命题，极值点相关的题目几乎年年都考，而且分值不低。很多同学在这类题目上丢分，不是因为不会做，而是没有掌握判断极值点的正确方法。所以今天这篇文章，我就把极值点判断的几种常用方法逐一讲解，配合例题说明，保证让你看完之后有豁然开朗的感觉。

一、先搞明白：什么是极值点？

在正式讲判断方法之前，我们得先弄清楚极值点的定义。简单来说，极值点就是函数在某个点附近取得最大值或最小值的地方。这个定义里有个关键表述——"附近"。什么意思呢？就是极值点是一个局部概念，函数在这个点附近是最大或最小，但不一定是整个定义域内的最大或最小。很多同学容易把这个局部概念和最值概念搞混，这点一定要记住。

从图像上看，极值点对应的是函数的"峰"和"谷"——上升转为下降的点是极大值点，下降转为上升的点是极小值点。这个图像特征非常重要，我们在判断极值点的时候很大程度上就是要找到函数增减性发生变化的临界点。

当然，光看图像是不够的，高考考查的是严谨的数学方法。接下来我就介绍几种在高考中常用的极值点判断方法。

二、第一导数法：最基础也最常用

第一导数法是高考中最常考的极值点判断方法。它的核心思路是利用导数的符号来判断函数的增减性变化。

基本原理

如果函数f(x)在点x?处可导，那么当f'(x?) = 0时，x?是极值点的候选点，我们称它为"驻点"。但要注意，驻点只是候选点，并不一定是极值点。这就好像通过了海选，但还没进决赛。

那怎么确定驻点到底是不是极值点呢？我们要看导数在驻点两侧的符号变化。具体来说：

• 如果f'(x)在x?左侧为正，右侧为负，说明函数在x?处由增变减，x?是极大值点
• 如果f'(x)在x?左侧为负，右侧为正，说明函数在x?处由减变增，x?是极小值点
• 如果f'(x)在x?两侧符号相同，则x?不是极值点

解题步骤

用第一导数法解题，一般按以下步骤进行：

• 第一步：求函数的导数f'(x)



• 第二步：解方程f'(x) = 0，求出所有驻点
• 第三步：列表分析导数在每个驻点两侧的符号变化
• 第四步：根据符号变化情况判断极值类型

举个例子

我们来看一道经典例题：求函数f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 5的极值点。

首先求导：f'(x) = 3x2 - 6x - 9。把导数因式分解，得到f'(x) = 3(x2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)。

接下来解f'(x) = 0，解得x = 3或x = -1。这两个就是候选驻点。

现在我们要判断这两个点是不是极值点，需要看导数在两侧的符号变化。我们以x = -1为例：

当x < -1时，比如取x = -2，则(x - 3) < 0，(x + 1) < 0，负负得正，所以f'(x) > 0，函数递增。

当-1 < x < 3时，比如取x = 0，则(x - 3) < 0，(x + 1) > 0，一正一负，所以f'(x) < 0，函数递减。

这说明函数在x = -1处由增变减，所以这是极大值点，函数在这个点取得极大值。

再分析x = 3：当x < 3且x > -1时，f'(x) < 0，函数递减；当x > 3时，比如取x = 4，则(x - 3) > 0，(x + 1) > 0，正正得正，所以f'(x) > 0，函数递增。函数在x = 3处由减变增，所以这是极小值点。

通过这个例子，你可以看到第一导数法的核心就是"看符号变化"。只要驻点两侧导数符号相反，就一定是极值点；如果相同，就不是。

三、第二导数法：高端玩家的选择

第二导数法是另一种常用的判断方法，它比第一导数法更简洁，但有一定的适用条件。

基本原理

当函数f(x)在驻点x?处二阶可导时，我们可以通过二阶导数的符号来判断极值类型：

• 如果f''(x?) > 0，则x?是极小值点
• 如果f''(x?) < 0，则x?是极大值点
• 如果f''(x?) = 0，这种方法失效，需要用其他方法判断

这个定理的几何意义很直观：二阶导数大于0意味着函数图像在这一点是"凹"的，像个U字形，所以是极小值点；二阶导数小于0意味着图像是"凸"的，像个倒U字形，所以是极大值点。

适用场景

第二导数法的优点是速度快，不需要列表分析符号变化。但它有两个局限：一是要求二阶导数存在且不为零，二是当二阶导数为零时失效。所以在实际解题中，如果二阶导数容易计算且结果不为零，用第二导数法是很好的选择。但如果二阶导数计算复杂或者可能为零，那还是用第一导数法更保险。

在金博教育的课堂上，老师通常会建议我们：如果一阶导数的符号分析起来比较麻烦，可以先试试二阶导数法。但无论如何，都要做好两手准备，万一失效了得会切换方法。

举个栗子

还是用刚才那个函数f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 5，我们用二阶导数法来验证一下。

首先，一阶导数f'(x) = 3x2 - 6x - 9，驻点还是x = -1和x = 3。

然后求二阶导数：f''(x) = 6x - 6。

在x = -1处，f''(-1) = 6×(-1) - 6 = -12 < 0，所以这是极大值点。

在x = 3处，f''(3) = 6×3 - 6 = 12 > 0，所以这是极小值点。

结果和之前完全一致，但过程简单多了。这就是二阶导数法的优势——省时省力。

四、两种方法怎么选？实战经验分享

有些同学可能会问：到底该用哪种方法？我的建议是：看题目条件，也看个人习惯。

方法	优点	缺点	适用情况
第一导数法	适用范围广，绝对可靠	步骤稍多，需要列表分析	二阶导数不存在或为零时
第二导数法	步骤简洁，速度快	有二阶导数为零失效的风险	二阶导数易算且不为零时

在高考考场上，时间非常紧张。我的经验是：拿到题目后，先快速扫一眼。如果一阶导数分解后符号变化很明显，直接用第一导数法；如果二阶导数很容易计算，就先用二阶导数法试试，发现失效再换第一种。

还有一点要提醒大家：有些题目会设置陷阱。比如函数在某点一阶导数为零，但二阶导数也为零，这时候一定要回到第一导数法，用符号变化来判断。这种情况虽然不多，但一旦遇到就是区分度很高的题目。

五、几种特殊情况要特别注意

刚才讲的都是比较理想的情况，但高考中往往会设置一些特殊情形，需要我们格外小心。

导数不存在的点也可能是极值点

这是很多同学容易忽略的一点。极值点除了可能是驻点（导数为零的点），还可能是导数不存在的点。比如f(x) = |x|，在x = 0处导数不存在，但显然这个点是极小值点。

所以完整的极值点判断流程应该是：先找导数为零的点（驻点），再找导数不存在的点，然后逐一验证。在高考题中，如果遇到分段函数或者带绝对值的函数，一定要检查导数不存在的点是不是极值点。

二阶导数为零的情况

当二阶导数为零时，第二导数法失效，我们需要用更高阶的导数或者回到第一导数法。比如函数f(x) = x?，在x = 0处一阶导数和二阶导数都为零，但显然这是极小值点。遇到这种情况，用第一导数法看符号变化最稳妥。

极值点与最值点的区别

开头我提到过，极值点是局部概念，最值点是全局概念。一个函数可以有多个极值点，但最值点最多只有两个（最大值和最小值各一个）。高考中有时会考查极值与最值的关系，大家千万不要混淆这两个概念。

六、考场实战建议

最后结合我自己的考试经验，给大家几点建议。

第一，审题要仔细。有些题目会问"极值点"还是"极值"，是"极大值点"还是"极小值点"，一字之差答案完全不同。读题的时候一定要圈画关键词。

第二，计算要规范。特别是求导的时候，一不小心就会算错。建议大家求完导后检查一遍，确保没有计算错误。

第三，写步骤的时候要有条理。高考阅卷是按步骤给分的，即使最后结果错了，步骤分也能拿到。判断极值点的时候，最好把符号分析的过程写清楚，这样即使有小错误，老师也会酌情给分。

第四，遇到不会的题目不要慌。极值点判断的题目一般来说步骤都是比较固定的，静下心来一步步来，总能找到突破口。

好了，关于导数极值点判断的方法就讲到这里。这部分内容虽然有一定难度，但只要掌握了基本方法，多练习多总结，拿下这部分分数并不难。希望正在冲刺的同学们稳住心态，一步一个脚印地复习。高考不仅考的是知识储备，更是心态和毅力的较量。在金博教育这些年，我见过太多基础一般但最后逆袭成功的例子，关键就在于不放弃、持续努力。

祝大家学习顺利，高考加油！