小学数学图形计数问题，一对一补习怎么学？

记得有一次，一个四年级的学生拿着作业本来问我："老师，这道数长方形的题，我数来数去都是12个，可标准答案说是18个，我是不是数错了？"我拿过题目一看，题目要求数一个3×2的网格里有多少个长方形。这道题看起来简单，但里面确实有门道。

其实啊，图形计数问题看起来像是"数数"，实际上是考察学生的逻辑思维能力和有序思考的习惯。很多孩子在这类题目上丢分，不是因为粗心，而是因为没有掌握正确的方法。在一对一补习的时候，我们往往能从学生的思考过程中发现他到底是哪里卡住了，然后对症下药。

为什么图形计数总是数错？

在金博教育的一对一课堂上，我们发现孩子数错图形主要有三个原因。第一个原因是"漏数"，也就是跳着数，数着数着就漏掉了几个；第二个原因是"重复数"，同一个图形被算了两次自己还不知道；第三个原因最根本，就是没有一个系统的计数方法，完全凭感觉和运气。

我给学生打过一个比方：数图形就像在书架上找书。如果你知道书的分类方法，就能很快找到；如果你毫无章法地翻，可能找十遍都找不到想要的那本。图形计数也是一样的道理，掌握了方法，你就能"有序可循"，不会漏也不会重。

三类最常见的图形计数题型

小学阶段接触的图形计数问题，主要可以分成三类。第一类是数线段、数角、数台阶这类"一维图形"的计数；第二类是数长方形、数正方形这类"二维图形"的计数；第三类是数立体图形，比如数小正方体的个数。

这三类题目的解题思路有相通之处，但具体方法各有侧重。咱们一个个来说。

一维图形计数：找到"起点"就成功了一半

先说数线段，这是最基础也是最典型的一维图形计数。题目通常是这样的：一条线段上有若干个点，问一共有多少条线段。或者反过来，已知线段总数，问这条线段被分成了多少段。

我教学生的方法是"找端点"。每一条线段都有两个端点，我们可以用"端点选2"的方法来计算。比如一条线段上有4个点（包含两个端点），那么任意选两个点就能组成一条线段。计算方法就是组合数：4选2等于6条线段。

这个方法不仅可以数线段，还可以推广到数角、数台阶、数人与人握手次数这些题目上。本质上都是"找元素，然后算组合"。在金博教育的一对一辅导中，我们通常会让学生先把这类型的题目吃透，因为它是后面更复杂题型的基础。

二维图形计数：有序枚举是关键

二维图形计数是小学阶段的重点和难点，尤其是数长方形和数正方形。这类题目的特点是：图形不是单一的，而是由多个小图形组合成的大图形，而且组合的方式有很多种。

以刚才那个3×2网格数长方形的问题为例。很多孩子数的时候是这样数的：先数单个的小长方形，有6个；然后数由两个小长方形拼成的，有横着拼的和竖着拼的，横着拼的有3个（每一行2个相邻的小长方形合成1个），竖着拼的有2个（每一列2个相邻的小长方形合成1个），所以一共是5个；接下来数由三个小长方形拼成的，横着拼的没有，因为一行只有两个，竖着拼的有1个（三个竖着叠放）；最后数由六个小长方形拼成的大长方形，有1个。加起来6+5+1+1=13个，离正确答案18个还差得很远。

问题出在哪里？孩子只数了"完整拼接"的情况，漏掉了很多"不完整"的长方形。比如2×2的长方形由四个小正方形组成，这样的长方形在3×2的网格里有2个（上面的两个正方形和下面的两个正方形各组成一个）。还有横着的1×2的长方形，其实每一行可以组成2个，两行就是4个，再加上竖着的2×1长方形，每一列可以组成1个，两列就是2个。光这一项就和孩子算的不一样。

正确的做法是"分类枚举+有序思考"。我们把所有可能的长方形按照"宽和高"来分类。宽为1小格、高为1小格的长方形：有3×2=6个；宽为1小格、高为2小格的长方形：有3×1=3个；宽为2小格、高为1小格的长方形：有2×2=4个；宽为2小格、高为2小格的长方形：有2×1=2个。把这些加起来：6+3+4+2=15个。哎，还是不对，离18还差3个。

哦，这里我犯了一个错误，3×2的网格应该是横着有3个小正方形，竖着有2个小正方形。宽为1高为1的：3×2=6个；宽为1高为2的：3×1=3个；宽为2高为1的：2×2=4个；宽为2高为2的：2×1=2个；宽为3高为1的：1×2=2个；宽为3高为2的：1×1=1个。现在加起来：6+3+4+2+2+1=18个，对了！

从这个例子可以看出，数二维图形的时候，我们要把所有可能的"规格"都考虑到，而且要按照"从短到长"或者"从小到大"的顺序来枚举，这样就不会漏掉也不会重复。

数正方形的特殊技巧

数正方形的时候有一种特殊情况，就是在大正方形里面分割成小正方形网格。比如一个4×4的正方形网格里有多少个正方形？这时候我们可以用"层数法"。

边长为1的小正方形：有4×4=16个；边长为2的正方形：有3×3=9个（因为横着可以放3个位置，竖着也可以放3个位置）；边长为3的正方形：有2×2=4个；边长为4的正方形：有1×1=1个。加起来16+9+4+1=30个。

这个方法的规律是：对于n×n的网格，边长为k的正方形个数是(n-k+1)的平方。我们可以把这个公式教给学生，但前提是他得先理解这个公式是怎么来的，不然换一道题他还是不会。

一对一补习时我们怎么教？

在金博教育的数学一对一课堂上，我们教图形计数问题不是简单地告诉孩子一个公式，而是带着他走一遍思考的过程。

第一步是先让孩子自己按照原来的方法做一遍，做错了也没关系，我们来看看他是怎么想的。有的孩子是漏数，有的是重复数，有的是方法本身有漏洞。找到问题所在，才能对症下药。

第二步是带着孩子一起分析题目，找到分类的标准。比如刚才数长方形的题目，分类标准就是"长和宽各占几格"。这个分类标准不是随便定的，而是根据图形的特点来定的。

第三步是让孩子自己按照新的方法再做一遍，这次不要急着给答案，让他一边做一边说出来自己是怎么想的。只有当孩子能够清晰地把自己的思考过程说出来的时候，他才算是真正掌握了这种方法。

第四步是找同类型的题目来练习，巩固方法。一道题目的练习量是不够的，要做不同形式的变式题，确保孩子真的理解了而不是死记硬背。

家长可以怎么配合？

有些家长问我，孩子在家做图形计数的题目，我要不要在旁边看着他做？我的建议是最好不要。很多孩子被家长盯着会紧张，反而发挥不好。家长可以等孩子做完之后，问他："你是怎么数的？能给妈妈讲讲吗？"让孩子把思考过程说出来，这本身就是一个检验和巩固的过程。

如果孩子讲不清楚，不要着急批评他，讲不清楚往往意味着他还没有完全理解。这时候可以让他再想想，或者第二天去学校问老师。如果这类问题孩子一直搞不懂，也可以考虑给孩子报一个一对一辅导，让专业的老师来帮助他建立正确的思维方式。

其实啊，图形计数问题考察的不只是数学能力，更是一种思维方式——有序、全面、不重复不遗漏。这种思维方式对以后学数学、甚至处理其他问题都有帮助。所以与其把这当成一道道要刷的题目，不如把它当成一次思维训练的机会。

常见解题技巧汇总

为了方便孩子记忆，我把小学阶段常用的图形计数技巧整理了一下：

题型	核心方法	举例说明
数线段	端点选2组合法	n个端点的线段有n(n-1)/2条
数角	射线选2组合法	n条射线有n(n-1)/2个角
数长方形	按规格分类枚举	先确定所有可能的长和宽组合
数正方形	按边长分层计数	边长k的正方形数为(n-k+1)2
数台阶	找规律求和	梯形台阶数为1+2+...+n

这个表格可以打印出来贴在孩子书桌上，做题的时候拿出来对照一下。不过还是要提醒孩子，不要机械地套公式，要先理解为什么用这个方法。

说到这儿，我想起来还有一个容易出错的地方，就是孩子们经常把"数图形"和"分图形"搞混。所谓数图形，是从已经组合好的图形里找出所有符合要求的图形；所谓分图形，是把一个图形按照某种规则分割成几个部分。这两个问题的方向是相反的，解题思路也不一样。做题的时候一定要先看清题目问的是什么。

最后说几句

图形计数问题说难不难，说简单也不简单。关键是孩子要建立起"有序思考"的意识，不能东数一个西数一个。在一对一补习的时候，老师会根据孩子的具体情况来调整节奏和重点有的孩子是需要多练习，有的孩子是需要把原理讲透，有的孩子是需要培养耐心。

如果你家孩子也在为这类题目发愁，不妨让他先把基础题型练熟，等感觉找到了，再挑战更复杂的题目。数学学习急不得，一步一个脚印最重要。

对了，如果还有其他数学学习上的问题，欢迎随时来金博教育坐坐，我们一起聊聊怎么帮助孩子更好地进步。