那一年，我被二次函数难倒过
记得第一次接触二次函数的时候，我整个人都是懵的。课本上那些抛物线、顶点坐标、开口方向，看得我眼花缭乱。尤其到了根的判别式这个部分，符号来来去去的，Δ大于零等于零小于零把我折腾得够呛。后来自己慢慢琢磨，再加上在金博教育带过的几届学生，我才真正弄明白这个知识点到底是怎么回事。
今天这篇文章，我想从实际教学的角度出发，把判别式这个"拦路虎"给大家讲清楚。不用那些晦涩难懂的术语，我们就用最朴素的话，把这个知识点掰开揉碎了的聊。
什么是判别式？
在说判别式之前，我们先回忆一下二次函数的标准形式。一般来说，我们把ax2+bx+c=0叫做一元二次方程，其中a、b、c都是已知数，x是我们要求的未知数。而这个方程的根的情况，就由判别式来决定。
判别式的符号是Δ（读作delta），它的计算公式是Δ=b2-4ac。说白了，就是把二次项系数、一次项系数、常数项代入这个公式算出一个数来。这个数的大小，直接决定了方程有没有解、有几个解。
这里有个小细节经常被学生忽略：a不能为零。这个条件看起来简单，但考试的时候经常有人忘了写，导致后面的计算全错。在金博教育的课堂上，我都会反复提醒学生，先看a，再算Δ，这个顺序不能乱。
三种情况，一次讲透
Δ的取值有三种情况，每种情况对应着方程不同的解的情况。我建议大家把这三种情况烂熟于心，因为考试的时候基本上就是考这个知识点。
| 判别式取值 | 方程根的情况 | 图象特征 |
| Δ > 0 | 两个不相等的实数根 | 抛物线与x轴有两个交点 |
| Δ = 0 | 两个相等的实数根（也叫重根） | 抛物线与x轴有一个交点（顶点） |
| Δ < 0 | 没有实数根 | 抛物线与x轴没有交点 |
这三行表格，我让学生抄在本子上，反复看反复背。但光背不行，还得理解背后的逻辑。Δ=b2-4ac这个公式，本质上算的是什么呢？它算的是抛物线和x轴之间的"距离"。如果这个距离大于零，说明有交点；等于零，刚好擦边；小于零，根本碰不到。
我上课的时候喜欢举个生活化的例子：想象你有一条抛物线，像一座拱桥。如果这座桥够矮，桥面就会穿过水面（x轴），这时候有两个交点；如果这座桥刚好贴着水面过去，只有一个接触点；要是桥面够高，根本碰不到水面，那就一个交点都没有。这样类比着讲，学生普遍反映好理解多了。
判别式到底怎么用？
知道了原理，接下来就是实战环节。判别式的应用场景主要有三类，每一类都需要掌握扎实。
第一类：判断方程有没有解
这是最基本的应用。题目会告诉你一个方程，让你判断它有没有实数根。这时候直接套公式算Δ，看结果是正数、零还是负数就行了。
举个例子：已知方程x2-3x+2=0，求它的根的情况。先算Δ=(-3)2-4×1×2=9-8=1。因为1>0，所以这个方程有两个不相等的实数根。进一步分解的话，(x-1)(x-2)=0，根是1和2。
这个例子很简单，但考试的时候数值会变复杂。有的时候是含参数的方程，比如x2+(k-1)x+k=0，让学生求k为何值时方程有两个实数根。这时候就需要把Δ表示成k的表达式，然后令它大于零，解不等式就行。
第二类：求参数的取值范围
这类题目稍微难一点，但套路很固定。题目会给出方程有实数根（或无实数根）的条件，让你求参数的取值范围。核心思路就是：把Δ用参数表示出来，然后根据题目要求列不等式。
我来出一道典型题：若方程x2-2mx+m+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
首先，两个不等实根意味着Δ>0。计算得Δ=(-2m)2-4×1×(m+1)=4m2-4m-4。然后令4m2-4m-4>0，两边都除以4得m2-m-1>0。解这个不等式，需要先找临界点。方程m2-m-1=0的根是(1±√5)/2，所以在数轴上，这个二次式大于零的部分是m<(1-√5)/2或m>(1+√5)/2。
这道题有几个易错点：一是计算Δ的时候容易算错符号；二是除以负数的时候忘记变号；三是最后解不等式漏掉一部分范围。我都会告诉学生，做完之后把解代回去验算一遍，这样最保险。
第三类：结合函数图象分析
判别式和二次函数的图象是分不开的。有的时候题目会给出一个抛物线，让你判断某些结论对不对。这时候要把图象信息和判别式结合起来看。
比方说，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过(-1,0)、(0,2)、(1,0)这三点，让学生判断a的符号、Δ的符号等等。这种题目其实是先让你求解析式，再算判别式。不过有更快捷的方法：三个点中有两个x轴上的点，说明这两个点是方程ax2+bx+c=0的根。根据根与系数的关系，这两个根的和是-b/a，积是c/a。代入数值(-1)+0=-b/a，(-1)×0=c/a，所以b=a，c=0。再结合(0,2)这个点，代入得c=2。这不是矛盾了吗？哦，原来我举的这个例子有问题。正确的三个点应该是象限上的点搭配，不能同时有两个在x轴上却用一般式。
我想说的是，图象题需要灵活应变。看到抛物线经过某几个点，先想想这些点有什么几何意义，再决定用什么方法。
学生最容易踩的坑，我帮你列出来
教了这么多年书，我发现学生在判别式这个知识点上，有几个坑是反复踩的。把它写出来，大家引以为戒。
- 公式记错：Δ=b2-4ac，这里的b是一次项系数，不是二次项。很多学生算着算着就把a和b搞混了。建议大家做题之前先写清楚a、b、c分别是什么，不要凭感觉代入。
- 符号处理不当：b如果是负数，平方之后就变成正的了，不用担心。但计算4ac的时候，符号要留意。有的时候ac本身是负的，开根号之后变成虚数，这时候Δ肯定是负的，方程无实根。
- 忽略a≠0：如果题目中没有说这是一个一元二次方程，学生很容易直接套公式。但万一a=0，这就变成一次方程了，判别式的公式根本不适用。所以拿到题目先确认a≠0，这应该是本能反应。
- 不等式解错：当Δ是参数的二次函数时，解不等式容易出错。特别是二次项系数为负的时候，一定要记得先把它变成正的，或者记得变号。建议大家用数轴标根法，一目了然，不容易错。
一对一辅导的时候，我会怎么教？
在金博教育做一对一辅导，我发现每个学生对判别式的困惑点都不一样。有的孩子是公式记不住，有的孩子是理解了但算不对，有的孩子是思路有但步骤乱。所以一对一的优势就在这里，可以针对性地解决问题。
一般来说，我会先问学生几个问题：你知道判别式为什么要这样设计吗？你能解释清楚Δ>0、=0、<0分别意味着什么吗？如果学生能用自己的话说清楚，说明理解没问题，剩下的就是多练。如果说不清楚，那就要先补基础概念。
接下来是典型的"错题重做"环节。我会让学生把之前做错的题目找出来，不看答案自己做一遍。这一遍我会让他把每一步都念出声来，方便我听他卡在哪里。有时候算到某一步他突然停住，那可能就是这个知识点有漏洞。
最后是变式训练。同一种题型，换几个数字让他再做。数学这东西，见的题多了，套路自然就熟了。我常跟学生说，判别式这章的题型其实很固定，来来回回就那几种考法。你把每种考法都练熟了，考试的时候就是换个数而已。
写在最后
二次函数的判别式，说难不难，说简单也不简单。它是初中数学的一个分水岭，掌握好了，后面的学习会顺畅很多；卡在这里，可能整个二次函数那章都会有阴影。
但我想说的是，学习数学急不得。今天看不懂的东西，明天再看可能就懂了。关键是要动手算，不能只看不做。判别式这个公式，你抄一百遍不如自己算十道题。题目做多了，肌肉记忆就出来了，考试的时候自然而然就能写对。
如果自学有困难，找个好老师带着学也未尝不可。在金博教育这些年，我见过太多学生因为得到正确的点拨，突然就开窍了。学习这件事，有时候就是差一层窗户纸，捅破了就海阔天空。
希望这篇文章对你有帮助。如果有哪里没讲清楚，随时再来交流。数学这条路，咱们一起慢慢走。
