那个让全班同学头疼的二次函数最值问题，到底该怎么突破

上周有个家长在微信上问我，说孩子二次函数这块儿总丢分，特别是遇到"最大利润是多少"、"围成最大面积要剪掉多少"这类应用题就懵圈。其实吧，这不怪孩子，这种题确实需要一点"开窍"——当你真正理解了二次函数图像长什么样、最值到底是怎么来的，再去看那些应用题，就会发现它们其实都是在"换皮"。今天咱们就聊聊，在一对一补习的时候，老师会怎么帮孩子把这块硬骨头啃下来。

先搞明白：啥叫"最值"，为啥二次函数有最值

说实话，很多孩子一上来就被抛物线、顶点坐标这些概念搞晕了。其实咱们换个角度想，最值就是你能在这个问题里找到的"天花板"或者"地板"。比如说，你们班最高的人有多高？那个就是身高这个数列里的最大值。最矮的人有多低？就是最小值。二次函数的最值也是这个道理，只不过它不是一群分散的数字，而是一条连续的曲线。

那为什么二次函数一定有最值呢？你画一下二次函数的图像看看，它是抛物线，长得像一口锅。这口锅要么开口朝上，要么开口朝上。开口朝上的话，锅底就是最低点；开口朝下的话，锅口就是最高点。这个"锅底"或"锅口"的y坐标，就是我们说的最值。

在金博教育的课堂上，我通常会先让孩子自己画几个不同a值的二次函数图像，亲眼看一看抛物线是怎么变的。有个学生画完之后跟我说："老师，我以前觉得数学题都是冷冰冰的数字，现在看着这条曲线，感觉它好像在告诉我答案在哪儿。"这种体验很重要——当你"看见"了数学，它就不再是抽象的符号了。

最值到底怎么求？两种方法都要会

求二次函数最值，方法有两个，一个是从公式入手，一个是从图像入手。考试的时候两个都可能用上，所以最好都掌握。

第一种方法，配方求顶点。把一般式y=ax2+bx+c变成y=a(x-h)2+k的形式，这里的(h,k)就是顶点坐标。如果a大于0，k就是最小值；如果a小于0，k就是最大值。为啥要配方呢？因为配完方之后，x-h的平方永远大于等于0，乘以a之后，最小值或最大值就"藏"在k里面了。这个方法适合代数计算能力强的孩子，用起来快得很。

第二种方法更直观，看顶点坐标公式。顶点横坐标h=-b/(2a)，纵坐标k=c-b2/(4a)。这个公式是现成的，直接套就行。有孩子喜欢用这个，觉得不用动脑子算配方。但是要注意，公式容易记混，所以一定要理解它是怎么来的。

方法	适用情况	优点	注意事项
配方法	已经化简的二次函数	理解深刻，步骤清晰	计算稍繁琐，容易出错
公式法	任何情况都能用	速度快，直接套用	公式要记牢，不能抄错

真实案例：这道利润题难倒了半个班

说个具体的例子。某商品定价50元时，每天能卖100件。如果每涨价1元，就少卖2件；每降价1元，就多卖2件。问定价多少时利润最大？

这道题，当年我带的班里有三分之二的孩子列不出式子。为啥？因为他们不知道该怎么设变量。设涨价x元，那么售价变成50+x，销量变成100-2x。利润等于每件利润乘以销量，也就是(50+x-成本)×(100-2x)。如果成本是30块，那式子就是(20+x)(100-2x)。接下来展开、化简、配方或者套公式，最值就出来了。

在一对一辅导的时候，我会让孩子先把这道题的"翻译"过程写出来——把每句话都转换成数学式子。很多孩子不是不会算，而是不会"翻译"。这一步练熟了，后面的计算反而简单。

中考常考的应用题型，都在这里了

二次函数最值应用题虽然看起来千变万化，但拆解开来就那么几类。把这些题型吃透了，考试的时候不管怎么包装都能认出来。

第一类：几何图形的面积最大最小

这类题通常是说，给你一段固定长度的篱笆，要围成一个矩形或三角形，问怎么围面积最大。或者是在一张纸上剪掉四个角，折成一个无盖盒子，问剪掉多少的时候容积最大。

解题的套路一般是先设变量，再用周长或边长关系把其他量表示出来，最后把面积或体积表示成二次函数。比如围矩形，假设长是x，宽就是(周长-2x)/2，面积S=x×(周长-2x)/2。这是关于x的二次函数，求最值就行。

去年有个学生在这类题上总出错，我让他把近五年本地的中考题找出来，发现这类题有个共同点：最后都是二次函数。他做了十道之后自己就总结出规律了，说"老师，我发现只要设好变量，后面基本一样"。后来这类题他基本不丢分。

第二类：行程与工程问题

这类题稍微复杂一点，因为涉及时间、速度、效率这些变量。比如两辆车相向而行，什么时候距离最近？或者两个工程队一起干活，什么时候能完成总量的百分之多少？

印象很深的是一道关于"握手"的题目：甲乙两人在400米环形跑道上跑步，甲每秒6米，乙每秒4米，同向出发，多少秒后甲第一次追上乙？这其实也能转化为二次函数问题。设t秒后甲比乙多跑400米，6t-4t=400，t=200。这道题其实是一次函数，但有些变形题会涉及到二次函数的最值，比如问两人什么时候距离最大——这时候设距离为二次函数求最值就行。

第三类：经济生活中的利润与成本

这类题是中考的"常客"，几乎年年考。核心公式很简单：利润=每件利润×销售量。每件利润=售价-成本，销售量通常和售价成线性关系。

常见的陷阱有几个：一是把"涨价"和"降价"搞反，导致销售量算错；二是不考虑实际意义，比如求出来的定价是负数或者超过合理范围，这时候要检验；三是忘记化简，直接用一般式求最值容易算错。

我通常会让学生把这三类应用题各做五道以上，然后让他们自己给我讲一遍解题思路。能讲清楚，说明真的理解了；讲不清楚，说明还有地方没想明白。这个方法是从费曼学习法来的——教是最好的学。

一对一补习到底能帮孩子解决什么

说实话，现在网上免费资源那么多，为啥还要上一对一？作为老师，我也经常想这个问题。后来我发现，最大的差别在于"针对性"和"即时反馈"。

大班课或者网课，老师只能按照固定节奏讲，照顾不到每个人的卡点。比如有的孩子配方总出错，有的孩子应用题列不出式子，有的孩子公式记混了——这三个问题需要完全不同的解决方案。在金博教育的一对一课堂上，老师能当场发现孩子卡在哪里，然后对症下药。

有个例子特别典型。一个孩子二次函数月考只考了47分，家长急得不行。补了四次课之后我发现，这孩子一元二次方程还没整明白，解方程总是错，后面函数自然听不懂。我用了两次课专门给他补一元二次方程，把解法练扎实了，再回头看二次函数，他就说"老师，我怎么觉得简单多了"。你看，有时候问题不在当前学的内容上，而是之前的基础有漏洞。

一对一还有个好处是可以按照孩子的节奏来。有些孩子悟性好，两道题就会了，那就不用重复讲；有些孩子需要多练几道，那就在这块多花时间。大班课没法这么灵活，但一对一可以完全跟着孩子的状态走。

给家长的建议：在家怎么配合

孩子学二次函数最值的时候，家长能帮上什么忙？我觉得最重要的一点是别急着催答案。有些家长一看孩子想不出来就说"你再想想啊"，结果孩子更紧张，更想不出来。更好的方式是问"你现在想到哪一步了"，让孩子把思路说出来，说着说着可能自己就通了。

还有就是帮忙检查计算过程。很多孩子思路对、式子列对了，结果算错了。这种丢分最可惜——不是不会，是算错。如果家长能帮忙看看计算过程有没有问题，能帮孩子减少很多低级错误。

有时候我也会给家长布置"作业"，比如让孩子给家长讲一道题。家长听完说"我没听懂，你再讲一遍"，孩子就得再组织语言。这个过程对孩子的帮助特别大，因为把知识讲给别人听，是最有效的学习方式之一。

写在最后

二次函数最值这部分内容，确实需要花点时间才能真正弄懂。但也不用太焦虑，因为它套路很清晰，题型也很固定。把基础概念理解透，把常见题型做熟练，考试的时候稳扎稳打，分数不会太差。

如果孩子在这块确实有困难，不妨考虑找有经验的老师进行一对一辅导。有时候点破那层窗户纸，真的就是几句话的事。关键是找到孩子真正卡在哪里，然后针对性地解决问题。

学习数学这件事，急不得，但也怕拖着。发现问题就及时解决，一步一个脚印，最后结果都不会太差。加油吧，少年们！