高三数学一对一辅导：导数与函数极值解题思路

记得上周有个学生来找我辅导的时候特别沮丧，说自己每次做到导数的题目就卡壳，特别是求函数极值这部分，明明公式都背得滚瓜烂熟，可是一到做题就不知道该怎么下手。其实吧，这种情况我见多了，今天就借着这个机会，把导数与函数极值这个模块的解题思路好好捋一捋，希望能帮到正在备考的你。

先弄明白：导数到底是个什么东西？

很多人一上来就被"导数"这两个字吓住了，觉得这是什么高深莫测的东西。其实吧，你可以把导数理解成一种"变化率"——就像你关心自己跑步时每分钟跑多快那样，数学家们想精确地知道函数在某个点上的变化快慢。

打个比方，你开车去上学，刚出发那会儿可能慢慢加速，过了一会儿达到稳定速度，快到学校的时候又减慢速度。如果把速度随时间变化的图画出来，那曲线的陡峭程度就直接反映了你的加速度——这曲线在某个点的陡峭程度，就是那个点的导数值。这么一想，是不是觉得导数其实挺接地气的？

在高考数学里，我们主要用到的是幂函数的导数公式和一些基本的运算法则。让我把最核心的几个公式列出来，这些都是你必须烂熟于心的：

原函数	导数
c（常数）	0
x?	nx??1
e?	e?
ln x	1/x

运算法则方面，你只需要记住三个：加减乘除的导数怎么求，以及复合函数的链式法则。特别提醒一下，复合函数的导数往往是同学们的失分点，一定要多练几道题把它吃透。

极值是什么？为什么导数能帮我们找到极值？

好，现在我们知道了导数反映的是函数变化的快慢。那这个"变化快慢"和"极值"之间有什么关系呢？

你想象一下自己爬一座山的经历。当你从山脚往上爬的时候，坡度是向上的，说明函数在增长；当你爬到山顶往下走的时候，坡度变成了向下，说明函数在减小。关键来了——在山顶那个点，你既不是在向上爬也不是在向下走，那个点的"变化率"是多少？答案是零！

这就是微积分里一个特别漂亮的想法：函数的极值点（不管是极大值还是极小值），只要这个点不是端点，那么它的导数一定等于零。这个结论我们称之为费马定理。你可以把它想象成一种"找山路最高点或最低点的魔法"——只要找到一个点，让它的导数等于零，这个点就可能是我们要找的极值点。

不过这里要特别注意，导数等于零的点不一定是极值点。这就好比你在爬一座馒头山，山顶是平的，你站在那个平地上，前一步还在往上走，后一步已经开始往下走了——但中间有一小段路你是水平的。这座馒头山的山顶就是一个"驻点"（导数为零的点），它确实是极值点。但有些函数在某点导数为零，却既不是极大值也不是极小值——这种点在数学上叫做"拐点"或"鞍点"。所以光找到导数为零的点还不够，我们还需要进一步判断这个点到底是极值点还是普通的驻点。

解题思路第一步：找可疑点

现在我们正式进入解题环节。求函数极值的第一步是什么？是找到所有"可疑点"。什么样的点是可疑点呢？主要有两类：

• 导数为零的点：也就是方程f'(x)=0的解，这些点我们称为"驻点"
• 导数不存在的点：有些函数在某些点导数不存在，比如绝对值函数在原点处"折"了一下，那个点的导数就找不到。但这些点也可能是极值点，所以不能漏掉

举个例子，假设我们要求函数f(x)=x3-3x的极值。第一步，求导：f'(x)=3x2-3。然后令导数等于零，解方程3x2-3=0，得到x=1和x=-1两个驻点。接下来我们得判断这两个点到底是不是极值点。

解题思路第二步：判断极值——两种方法都要会

判断一个驻点是不是极值点，高考数学里主要教两种方法。第一种叫符号判断法（也叫第一充分条件），第二种叫二阶导数判断法（第二充分条件）。两种方法各有优缺点，建议你都掌握。

符号判断法：这个点附近变号了吗？

这个方法的核心思想很简单：如果f'(x)在x?的左边是正的，右边是负的，那x?就是极大值点；如果左右符号相反，那x?就是极小值点；如果符号没变，那这个点就不是极值点。

还是用刚才的例子，f'(x)=3x2-3。我们可以画一个简单的符号表：

x	(-∞, -1)	-1	(-1, 1)	1	(1, +∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大	↘	极小	↗

从表格里看得很清楚：在x=-1附近，导数从正变负，所以x=-1是极大值点；在x=1附近，导数从负变正，所以x=1是极小值点。这个方法的好处是直观，不容易出错，缺点是需要列表或者画图，稍微费点时间。

二阶导数法：凹凸性说了算

二阶导数判断法更简洁一些。如果f''(x?)>0，说明函数在这个点附近是"凹"的，像一个小碗的底部，那这个点就是极小值点；如果f''(x?)<0，说明函数是"凸"的，像一个小山的顶部，那这个点就是极大值点。

还是刚才的例子，f'(x)=3x2-3，所以f''(x)=6x。代入x=-1，得f''(-1)=-6<0，说明x=-1是极大值点；代入x=1，得f''(1)=6>0，说明x=1是极小值点。结果和之前一致。

不过这个方法有个局限：如果f''(x?)=0，那这个方法就失效了，还得回头用第一种方法。常见的比如f(x)=x?在x=0处，一阶导数和二阶导数都是零，但你明显能看到x=0是最小值点——这时候就得靠符号判断法了。

解题思路第三步：算出具体的极值

找到极值点之后，计算极值本身反而是最简单的一步——直接把x?代入原函数f(x)就行了。承上例，f(-1)=(-1)3-3(-1)=2，所以极大值是2；f(1)=13-3(1)=-2，所以极小值是-2。

高考常考的几种题型，都在这里了

通过这么多年的辅导经验，我发现高考里关于导数与极值的题目，大概可以分成以下几种类型。每种类型都有它的"套路"，熟悉了这些套路做题就能快很多。

题型一：已知极值求参数

这种题目通常会告诉你函数在某个点取得极值，让你求参数。比如"已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=1处取得极值3，求a和b的值"。解题思路是：x=1是极值点，所以f'(1)=0；极大值是3，所以f(1)=3。列两个方程，解出来就行了。

这里有个小技巧：有时候题目会告诉你"取得极值"但不说极大还是极小，这时候你其实不用管，因为极值点的条件只要求导数为零，不需要区分极大极小。

题型二：求函数在闭区间上的最值

这是高考的热门考点。所谓闭区间[a,b]上的最值，是指函数在这个区间内所有点中最大的和最小的值。解题步骤是：先找区间内的驻点和导数不存在的点，然后计算这些点以及端点a和b的函数值，最后比较这些值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。

很多同学会忘记端点，这很可惜。你想啊，一个函数可能在区间内部取得极值，但最大值反而在端点上——这种情况太多了。

题型三：利用导数研究函数单调性

虽然这道题不直接问极值，但它的解题思路和极值问题是一脉相承的。核心就是通过导数的符号来判断函数的增减性：如果f'(x)>0，函数就递增；f'(x)<0，函数就递减。单调区间就是导数正负的分界点——说白了还是要解方程找驻点。

题型四：导数综合题

这种题目通常会把导数和函数、方程、不等式结合起来考，难度比较大。比如"证明当x>0时，e?>1+x+x2/2"，这种题目往往需要构造辅助函数，然后利用函数的极值或单调性来证明。

构造辅助函数是有技巧的。比如要证明e?>1+x+x2/2，你可以构造函数g(x)=e?-1-x-x2/2，然后研究这个函数的最小值。如果你能证明g(x)的最小值大于0，原不等式就成立了。这种题目需要多见多做，积累经验。

几个容易被忽视的小陷阱

在辅导过程中，我发现同学们容易在以下几个地方栽跟头，这里特别提醒一下。

第一个陷阱是忽略定义域。有些函数定义域本身就有范围限制，比如f(x)=ln(x-1)，定义域是x>1。如果题目让你求这个函数的极值，你找来找去找不到导数为零的点，那很正常——因为它在定义域内可能根本不存在极值点。

第二个陷阱是二阶导数为零的情况。前面提到了f(x)=x?这种函数，一阶二阶导数在极值点都等于零，这时候必须回到符号判断法。

第三个陷阱是极值和最值的混淆。极值是局部概念，只在某个点附近成立；最值是全局概念，是整个区间里的最大最小值。函数可以有很多个极值点，但最值只有一个（闭区间情况下）。

还有一点要提醒：可导和连续的关系。如果一个函数在某点有极值，它一定是连续的，但不一定可导（比如f(x)=|x|在x=0处有极小值但不可导）。反过来，如果函数在某点可导且是极值点，那导数一定为零——这个关系你要理清楚。

给正在备考的你一点建议

导数这部分内容，在高考数学里占的分量确实不小，但它不是不可征服的。我的建议是：先把基本概念彻底弄明白，不要死记硬背公式，要理解公式背后的逻辑。然后找大量的题目来练习，特别是历年高考真题。

做题的时候，不要满足于把答案做出来就完事了。你要问自己几个问题：这道题的突破口在哪里？为什么这里要用这种方法？如果条件变了，我该怎么调整解题思路？这样一道题一道题地抠下来，你的数学思维自然就建立起来了。

对了，学习这件事急不得。有些同学今天学完了导数，明天就想达到融会贯通的程度，这不太现实。数学这东西是需要时间来沉淀的，你今天做十道题可能还是懵懵懂懂，但坚持做一个星期，回头再看那些题目，就会发现它们其实没那么可怕。

如果你在学习过程中遇到什么困惑，或者需要更系统的辅导，金博教育的老师随时可以帮助你。我们会根据你的具体情况，制定个性化的学习计划，哪里不会就重点补哪里。毕竟高三时间宝贵，我们要的是效率。

总之呢，导数与函数极值这个模块，核心就在于理解导数的几何意义，掌握求导运算，然后通过导数的符号变化来判断极值。方法论掌握了，再配合足够的练习，这部分分数你一定能稳稳拿到手。加油吧，高三的孩子们！