中考数学因式分解：十字相乘法到底怎么学

说到中考数学里的因式分解，很多同学就开始头疼了。特别是学到十字相乘法的时候，更是满脸迷茫。这玩意儿看起来简单，怎么到自己手里就总是配不对数呢？我带过不少学生，他们第一次接触十字相乘法的时候，差不多都是同一个反应——"老师，这和普通乘法有什么区别？""为什么选这几个数而不是那几个？"今天咱们就好好聊聊这个话题，把十字相乘法掰开揉碎了讲清楚。

在中考数学里，因式分解是必考内容，而十字相乘法又是因式分解中最常用、最好用但也最容易出错的方法。很多同学学不好十字相乘法，不是因为笨，而是因为教材上讲得太抽象，老师演示的时候又太快，一步步的逻辑链条没搞清楚，自然就晕了。一对一辅导的好处就在这儿，能根据你的实际情况，哪里不懂补哪里。今天这篇文章，我用最土的方法把这个知识点讲透，看完之后你再去做题，会发现原来就这么回事。

一、十字相乘法到底是什么来头

在正式讲方法之前，咱们先说说十字相乘法是怎么来的。你可能在想，这名字听起来挺酷炫的，为什么叫"十字"？别急，听我慢慢解释。

因式分解这件事，说白了就是把一个复杂的式子拆成几个简单式子相乘。比如 x2 + 5x + 6 这个多项式，我们想把它拆成 (x + a)(x + b) 这种形式。展开看看，(x + a)(x + b) 等于 x2 + (a+b)x + ab。所以如果原式是 x2 + 5x + 6，那我们需要找两个数 a 和 b，让它们加起来等于 5，乘起来等于 6。这么一想，2 和 3 不正好吗？2+3=5，2×3=6。所以 x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。

这个过程就是因式分解的基本思路。但问题来了，如果系数稍微大一点呢？比如 x2 + 7x + 12，那 a+b=7，ab=12。2和6加起来是8，不对；3和4加起来是7，对！就是 3 和 4。这还能试出来。那如果系数是负数呢？比如 x2 - 5x + 6，那就需要两个数加起来等于 -5，乘起来等于 6。-2 和 -3 加起来是 -5，乘积是 6，对的，所以是 (x - 2)(x - 3)。这也能试。

但最麻烦的是什么呢？是二次项系数不是 1 的情况。比如 2x2 + 7x + 3 这种。这时候你没法直接找两个数让它们相加等于 7、相乘等于 6了，因为二次项系数是 2，不是 1。那怎么办？这时候就需要用十字相乘法了。

所谓十字相乘法，其实就是把刚才的思路升级了一下。想象一下，我们把二次项系数 2 拆成 2 和 1，把常数项 3 拆成 3 和 1，然后在草稿纸上画一个十字：

2	3
1	1

然后你把左边的 2 和 1 相乘，得到二次项系数 2；右边的 3 和 1 相乘，得到常数项 3。接下来看十字交叉的部分：2×1 + 1×3 = 2 + 3 = 5，不对，我们想要的是中间项系数 7。哦，不对，应该是交叉相乘再相加。左上乘右下：2×1=2，左下乘右上：1×3=3，然后 2+3=5，也不对。等等，我是不是搞反了？

哦对，应该是这样：

2	1
1	3

左上乘右下：2×3=6，左下乘右上：1×1=1，然后 6+1=7，对了！中间项系数就是 7。所以这个十字的意思是，2x2 + 7x + 3 可以分解成 (2x + 1)(x + 3)。你展开看看：(2x + 1)(x + 3) = 2x·x + 2x·3 + 1·x + 1·3 = 2x2 + 6x + x + 3 = 2x2 + 7x + 3，正好！

这就是十字相乘法名字的由来——因为你在草稿纸上画了个十字，然后把四个数两两配对相乘，再相加看是否符合中间项系数。它本质上就是把二次项系数和常数项分别拆成两个数，然后通过交叉相乘的方式"凑"出中间项。

二、为什么很多同学学不会十字相乘法

现在你明白原理了，但为什么考试的时候还是老出错呢？我观察下来，主要有这几个原因。

第一个原因是没搞懂原理就死记硬背

很多同学学十字相乘法的时候，老师直接在黑板上写个例题，然后说"你看，这样配那样配就出来了"。学生呢，也跟着抄，但根本不知道为什么这么配。题目稍微变个样，就不会了。我一直跟学生说，学数学最忌讳的就是死记硬背步骤。你得知道每一步为什么要这么做，这一步的目的是什么，它的数学依据是什么。只有把原理吃透了，遇到什么题目你都能自己分析出来。

第二个原因是拆系数的时候没有方向

十字相乘法最难的一步是什么？就是把二次项系数和常数项拆成哪两个数。你看，二次项系数是 2，你可以拆成 1 和 2，也可以拆成 2 和 1，其实是一样的。但常数项 3 呢？只能拆成 1 和 3，或者 3 和 1。但如果常数项是 12 呢？那就有好几种拆法了：1 和 12、2 和 6、3 和 4，还有它们的负数组合。这么多选择，到底试哪一个？

这就是很多同学卡住的地方。他们不知道该从哪里开始试，更不知道有没有什么规律可以遵循。其实是有的，你需要一个"试"的顺序，不能瞎试。我通常会建议学生，先看常数项的正负性。如果是正的，说明拆出来的两个数同号；如果是负的，说明异号。然后结合中间项的符号，就能判断两个数谁正谁负。接下来，先试乘积比较接近的组合，因为这样的数加起来通常也比较适中，不容易差得太远。

第三个原因是粗心大意

还有一种情况，学生其实已经掌握了方法，但就是算不对。交叉相乘的时候把数字看错了，或者加法算错了。这没办法，就是粗心。我通常会让学生每次算完都把结果展开验证一下，看看对不对。养成这个习惯，考试的时候能少丢很多分。

三、十字相乘法的完整步骤是什么样的

好，原理讲完了，现在咱们系统地说一下十字相乘法的步骤。我把它拆分成四步，每一步都有明确的目标和注意事项。

第一步：观察多项式是否符合使用条件

不是所有二次三项式都能用十字相乘法的。什么样的能呢？简单说，就是 ax2 + bx + c 这种形式，其中 a、b、c 都是整数，而且能够拆成符合条件的两组数。如果遇到根号或者分数，那就不能用十字相乘法了，得换其他方法。

第二步：拆分二次项系数和常数项

把 a 拆成两个数相乘，把 c 也拆成两个数相乘。这里要注意，这两个数最好都是整数，而且要考虑正负号。拆的时候心里要有数，不能乱拆一气。

怎么拆比较快呢？我建议先把 c 的因数列出来，然后看哪两个因数组合起来可能凑成 b。比如刚才说的 2x2 + 7x + 3，c 是 3，因数就是 1 和 3，a 是 2，因数就是 1 和 2。试一下排列组合，差不多就能试出来。

第三步：画十字并计算交叉乘积之和

在草稿纸上画一个十字，左上放 a 拆出来的第一个数，左下放第二个数，右上放 c 拆出来的第一个数，右下放第二个数。然后计算左上×右下 + 左下×右上，看等不等于 b。如果等于，那就对了；如果不等于，调整拆法再试。

第四步：写出因式并验证

确定十字正确后，左边两个数作为第一个因式的系数，右边两个数作为第二个因式的变量部分。也就是说，(左上 x + 右下)(左下 x + 右上)。然后一定要展开验证一下，确保正确。

我再强调一遍，验证这一步特别重要。很多同学自以为配对了，结果展开一看错了，白忙活。考试的时候做完题目没时间验证，但平时练习一定要养成习惯。

四、不同类型的题目怎么应对

刚才说的都是最基础的情况，但中考不会只考这么简单的内容。题目会有各种变形，需要你灵活应对。我来讲几种常见的类型。

类型一：系数为负数的情况

比如 2x2 - 7x + 3。中间的系数是负的，常数项是正的。那拆的时候要注意，两个因数应该都是负的，因为负负得正。我们可以这样拆：

2	-1
1	-3

左上×右下：2×(-3) = -6，左下×右上：1×(-1) = -1，然后 -6 + (-1) = -7，对了！所以 2x2 - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3)。

类型二：常数项为负数的情况

比如 2x2 + 5x - 3。常数项是负的，说明拆出来的两个数异号。那中间项是正的，说明正数的那个数绝对值更大。试一下：

2	-1
1	3

左上×右下：2×3 = 6，左下×右上：1×(-1) = -1，然后 6 + (-1) = 5，对了！所以 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)。

类型三：二次项系数不是质数的情况

比如 6x2 + 11x + 3。这时候 a 是 6，拆法有很多：1 和 6、2 和 3，还有它们的负数。常数项是 3，只能拆成 1 和 3。那怎么试呢？

先试 2 和 3：

2	1
3	3

左上×右下：2×3 = 6，左下×右上：3×1 = 3，6+3=9，不对，b是11。

换个位置：

2	3
3	1

2×1 + 3×3 = 2 + 9 = 11，对了！所以 6x2 + 11x + 3 = (2x + 3)(3x + 1)。

你看，二次项系数越大，可能的拆法越多，但只要按顺序试，总能找到对的。

五、一对一辅导的时候我会怎么教

在金博教育做一对一辅导的时候，我不会让学生盲目刷题，而是会针对性地帮他把薄弱环节补起来。

首先，我会了解学生对十字相乘法掌握到什么程度。是完全没听懂，还是听懂但不会用，还是会基础题但遇到变形就懵？不同的情况，我的教学重点不一样。

如果是完全没听懂，我就用更基础的例子重新讲一遍原理，甚至从因式分解为什么有用开始讲起。如果是听懂但不会用，那可能是练习不够，我会找一些由易到难的题目让他做，做完当场批改，指出哪里错了，为什么错。如果是会基础题但怕难题，我就专门找一些综合性的题目，让他见见世面，知道不管题目怎么变，核心方法都是一样的。

其次，我会特别注意培养学生的"数感"。什么叫数感呢？就是一眼看过去，能大概感觉到这两个数可能符合条件。这种感觉怎么来？就是大量练习积累出来的。我会让学生每次遇到十字相乘的题目，都在草稿纸上把可能的拆法列出来，然后一个一个试。刚开始可能慢，但练多了，速度就快了，而且准确率也会提高。

还有一点很重要，我会让学生养成"说题"的习惯。什么叫说题？就是把题目讲给我听，你是怎么想的，为什么选择这种方法，下一步打算怎么做。很多时候，学生以为自己懂了，但让他说的时候却说不清楚，这说明其实还没真正理解。通过说题，我能发现他的思维卡在哪里，然后针对性地点拨。

六、学习十字相乘法的一些小建议

最后，我分享几个学习十字相乘法的心得，都是从教学实践中总结出来的，应该对你有帮助。

• 不要怕麻烦，多动手算。数学这东西，看着和写着完全是两回事。很多同学看题目觉得简单，一动手就算错。你必须亲自算过，才能发现自己的问题在哪里。
• 准备一个错题本。把每次做错的十字相乘题目抄下来，写上正确的解法，也写上当时哪里错了。为什么错了比做对更重要，你得知道自己的薄弱点在哪里。
• 学会举一反三。做完一道题，想一想，如果题目变了会怎么样？比如常数项变成负数怎么办？中间项系数变大怎么办？多问自己几个为什么，能把知识点理解得更透彻。
• 保持耐心。十字相乘法确实需要一点时间来掌握，不可能第一天学第二天就炉火纯青。只要坚持练习，每天进步一点点，最后肯定能学好。

学习因式分解没有捷径，但方法找对了，速度可以快很多。十字相乘法看似复杂，其实就是一层窗户纸，捅破了就很简单。如果你真的被这个问题困扰，建议找专业的老师一对一辅导一下针对性解决，毕竟每个人的问题都不一样，有人点拨一下可能就通了。

好了，今天就聊到这里。如果你觉得这篇文章对你有帮助，欢迎持续关注金博教育，我们会分享更多中考数学的学习方法和技巧。祝大家学习顺利，考试加油！